지수함수

지수 함수 指數函數 주제 수학 어인정 X 길이 4 미션 - 지 수

개요

사전	●
〈수학〉a를 1이 아닌 양의 상수, x를 모든 실숫값을 가지는 변수라고 할 때에 y=a^x로 주어지는 함수.

교육과정 연계

고2 수학 I 에 등장한다. (2015년 교육과정 기준)

기본형

• 지수함수의 기본형은 다음과 같다.

지수함수의 이동

※모든 조건은 a>0, a≠1 입니다.

평행이동

x축 평행이동

• 지수함수 y=a^x를 x축 방향으로 m만큼 평행이동했을 때 식은 다음과 같다.

y축 평행이동

• 지수함수 y=a^x를 y축 방향으로 n만큼 평행이동했을 때 식은 다음과 같다.

x축, y축 평행이동

• 지수함수 y=a^x를 x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동했을 때 식은 다음과 같다.

대칭이동

x축에 대해 대칭이동

• 지수함수 y=a^x를 x축에 대해 대칭이동했을 때 식은 다음과 같다.

y축에 대해 대칭이동

• 지수함수 y=a^x를 y축에 대해 대칭이동했을 때 식은 다음과 같다.

원점에 대해 대칭이동

• 지수함수 y=a^x를 원점에 대해 대칭이동했을 때 식은 다음과 같다.

지수함수의 역함수

지수함수의 역함수를 구하는 방법은 다음과 같다. 예를 든 함수는 y=2^x 이다.

정의역과 치역 구하기

• 역함수 문서에 설명해 놨지만, 역함수의 정의에 의하여 정의역과 치역이 서로 바뀐다. 고로, 정의역과 치역을 바꿔야 한다.

y=2^x의 정의역 : {x|x는 모든 실수}, 치역 : {y|y≥0인 실수}

변수의 위치 바꾸기

• 그 다음, 정의역과 치역을 바꿔야 하므로 변수의 위치를 바꾼다.

x=2^y

양변에 밑이 a인 로그 씌우기

• y에 대해 식을 쓰기 위해, 양변에 밑이 a인 로그를 씌운다. 이때, 예시로 든 함수는 y=2^x 이므로 양변에 밑이 2인 로그를 씌워야 한다.

log_2 x=log_2 2^y

식 정리하기

• 로그의 밑과 진수가 같으면 1이 되고, 진수의 거듭제곱은 로그 밖으로 꺼낼 수 있다는 사실을 이용하여 식을 정리한다.

log_2 x = y*log_2 2 , ∴y=log_2 x

범위 정하기

• 역함수는 원래 함수의 치역이 정의역이므로, 범위를 반드시 써 줘야 한다.

y=log_2 x (단, x≥0)

지수함수와 로그함수의 관계

위의 역함수를 구하는 방법으로 알 수 있는 사실이 있다.

- 지수함수 y=a^x (a>0, a≠1)와 로그함수 y=log_a x (a>0, a≠1)는 서로 역함수 관계이다.

지수함수의 그래프

두 함수의 차이점

빨간색은 y=a^x(a>1), 파란색은 y=a^x (0<a<1) 이다.

• 두 함수의 차이점

두 지수함수의 공통점/차이점
그래프의 식		y=ax (a>1)	y=ax (0<a<1)
지나는 점		(0,1)	(0,1)
그래프의 증감		증가함수	감소함수
점근선		y=0(x축)	y=0(x축)

지수함수의 도함수

도함수 문서를 참고하면 지수함수의 미분법을 알 수 있다.